√表示根号
把一个半径为R的球的上半球横向切成n（无穷大）份， 每份等高
并且把每份看成一个类似圆台，其中半径等于该类似圆台顶面圆半径
则从下到上第k个类似圆台的侧面积S(k)=2πr(k)×h
其中r(k)=√[R^2-﹙kh）^2],
h=R^2/{n√[R^2-﹙kh）^2}.
S(k)=2πr(k)h=(2πR^2)/n则 S=S(1)+S(2)+……+S(n)= 2πR^2;
乘以2就是整个球的表面积 4πR^2;
可以把半径为R的球看成像洋葱一样分成n层，每层厚为 = ，设第k层与球心的距离为r=r(k)=k ，面积为一个关于r(k)的函数设为S(r)，则k层的体积V(k)=S(r)* ，所以V= V(k)= S(k )* = S(r)*Δr= ,也就是V(r)= ，有可以知道V(r)=4/3πr^3,所以同时求导就可得S(r)=4πr^2,
公式中R为球的半径，S为球的表面积，π为圆周率。
关于圆的公式以及概念：
1、 连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径。
2、 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径，用字母d 表示。
3、 圆有无数条直径，并且在同一个圆里所有直径都相等，所有半径也都相等。
4、 圆是轴对称图形，直径所在直线为圆的对称轴。
5、 圆周长除以直径所得商为圆周率，用字母∏表示，它是一个固定的数，并且是一个无限不循环小数。π通常元等于3.14。
6、 将一个圆平均分成若干份，可拼成一个近似长方形，长方形长是圆周长的一半，用字母πr 表示，宽是圆的半径，用字母r 表示，因为长方形面积=长×宽，所以圆面积S=πr ×r=πr 2。长方形的周长比圆的周长多一条直径，C 长方形=8.28r
7、 公式 C=πd C=2πr C 半圆=πd ÷2+d=2.57d C 半圆=πr+2r=5.14r d=C÷π d=2r
S 环=π×(R2-r 2) r=C÷π÷2 r=d÷2 S=πr 2 S 半圆=πr 2÷2
用^表示平方
把一个半径为R的球的上半球切成n份 每份等高
并且把每份看成一个圆柱，其中半径等于其底面圆半径
则从下到上第k个圆柱的侧面积S(k)=2πr(k)*h
其中h=R/n r(k)=根号[R^-(kh)^]
S(k)=根号[R^-(kR/n)^]*2πR/n
=2πR^*根号[1/n^-(k/n^)^]
则 S(1)+S(2)+……+S(n) 当 n 取极限（无穷大）的时候就是半球表面积2πR^
乘以2就是整个球的表面积 4πR^
对球的体积公式求导就可以推导出球的表面积公式。
也可以利用周长公式计算球的表面积
√表示根号
把一个半径为R的球的上半球横向切成n（无穷大）份， 每份等高
并且把每份看成一个类似圆台，其中半径等于该类似圆台顶面圆半径
则从下到上第k个类似圆台的侧面积
S(k)=2πr(k)×h
其中r(k)=√[R^2-﹙kh）^2],
h=R^2/{n√[R^2-﹙kh）^2}.
S(k)=2πr(k)h=(2πR^2)/n则 S=S(1)+S(2)+……+S(n)= 2πR^2;
乘以2就是整个球的表面积 4πR^2;
让圆y＝√(R^2－x^2)绕x轴旋转，得到球体x^2+y^2+z^2≤R^2。求球的表面积。
以x为积分变量，积分限是[－R，R]。
在[－R，R]上任取一个子区间[x，x+△x]，这一段圆弧绕x轴得到的球上部分的面积近似为2π×y×ds，ds是弧长。
所以球的表面积S＝∫<－R，R>2π×y×√(1+y'^2)dx，整理一下即得到S＝4πR
公式证明
√表示根号
运用第一数学归纳法：把一个半径为R的球的上半球横向切成n份， 每份等高
并且把每份看成一个圆柱，其中半径等于其底面圆半径
则从下到上第k个圆柱的侧面积S(k)=2πr(k)×h
其中h=R/n ，r(k)=√[R²-﹙kh﹚²]
S(k)=√[R²-(kR/n)²]×2πR/n
=2πR²×√[1/n²-(k/n²)²]
则 S(1)+S(2)+……+S(n) 当 n 取极限（无穷大）的时候，半球表面积就是2πR²
乘以2就是整个球的表面积 4πR²。
参考资料：百度百科
取微圆环，圆心角θ～θ＋dθ，
则微圆环面积dS＝2πRsinθ＊Rdθ，
球面积S＝∫dS＝∫2πR2sinθ＊dθ（从0积到π）＝－2πR2cosθ｜（下0上π）＝4πR2
应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
扩展资料
利用周长公式计算球的表面积
√表示根号
把一个半径为R的球的上半球横向切成n（无穷大）份， 每份等高
并且把每份看成一个类似圆台，其中半径等于该类似圆台顶面圆半径
则从下到上第k个类似圆台的侧面积S（k）＝2πr（k）h
h＝R＾2／｛n√［R＾2－﹙kh）＾2｝．
S（k）＝2πr（k）h＝（2πR＾2）／n则 S＝S（1）＋S（2）＋……＋S（n）＝ 2πR＾2；
乘以2就是整个球的表面积 4πR＾2；
参考资料来源：百度百科——球体表面积
把微元面积当圆台处理。圆台的侧面积公式=（上周长+下周长）/2 X 母线长，这母线长就是弧元长ds。得来全不费功夫，总是找到理论根据了哈。下面是正式的圆台公式：
圆台侧面积s=π(r1+r2)√((r1-r2)^2+h^2)
圆台的体积v=πh/3(r1^2+r1r2+r2^2)
截面近似圆台的上半径r1=y+dy，下半径 r2=y, 高h=dx
表面积微元 dS=π(y+y+dy)√(dx^2+dy^2)=π(2y+dy)√(dx^2+dy^2)
体积的微元 dV=πdx/3(y^2+y(y+dy)+(y+dy)^2) =π/3(3y^2+3ydy+dy^2)dx
舍掉二阶无穷小项，有：
体积 dV=πy^2 dx，表面积 dS=2πy √(dx^2+dy^2）
所有的谜团都完美解决，也掌握微元的推导方法，对微元计算不可凭想象胡猜。那篇文章总算点到要点了，圆台侧面积公式是关键。圆台的侧面积公式=（上半径+下半径）X π X 母线长。母线长就是积分中的弧元长， 这应该满意了吧。这个问题就算彻底解决了，用积分解决问题的水平大大提高。
五、求微元的方法
我们求积分，必须先求微元，如果球表面积的微元用周长乘以高来积分，就犯了荒唐错误，而有时某情况正确，恰是碰巧如球体积，所以，从这个可笑事件中是必须吸取瞎猜的教训，要掌握好微元的正确推导方法。
如积分求曲线与X轴围成的面积，当然可以直接写成积分S=∫ydx，但我们仍然用微元推导，微元是个“直角梯形”：下底y,上底y+dy,高dx ，则微元:
dS=(y+y+dy)/2 dx=(y+1/2dy)dx
去掉二级无穷小, dS=ydx S=∫ydx
再如，曲线长度的微元就是直角三角形的斜边，符合勾股定理，
曲线长度dL=√(dx^2+dy^2)。L=∫√(dx^2+dy^2)=∫√(1+y'^2)dx
球的截面微元是个圆台， 圆台的体积v=πh/3(r1^2+r1r2+r2^2)
球体积的微元 dV=πy^2 dx。V=π∫y^2dx
表面积微元是圆元的侧面积， 圆台侧面积s=π(r1+r2)√((r1-r2)^2+h^2)
球表面积微元 dS=2πy √(dx^2+dy^2）。
S=2π∫y√(dx^2+dy^2）=2π∫y√(1+y'^2)dx
这样，微元以三角形、梯形、圆台等方式用合法公式推导，我们就不会再犯低级的主观错误。
注：有网友问 √(dx^2+dy^2)这是不是二阶无穷小？ 答：不是，平方再开方，是一阶无穷小了。多总结，悟吧。这上面一大段是我悟出的，书上也没有。
1、球表面积公式：
公式中R为球的半径，S为球的表面积。
2、球的体积公式的推导
基本思想方法：
先用过球心 的平面截球 ,球被截面分成大小相等的两个半球,截面⊙ 叫做所得半球的底面．
（l）第一步：分割．
用一组平行于底面的平面把半球切割成 层．
（2）第二步：求近似和．
每层都是近似于圆柱形状的“小圆片”,我们用小圆柱形的体积近似代替“小圆片”的体积,它们的和就是半球体积的近似值．
（3）第三步：由近似和转化为精确和．
当无限增大时,半球的近似体积就趋向于精确体积．
定积分的应用：旋转面的面积。好多课本上都有，推导方法借助于曲线的弧长。
让圆y＝√(R^2－x^2)绕x轴旋转，得到球体x^2+y^2+z^2≤R^2。求球的表面积。
以x为积分变量，积分限是[－R，R]。
在[－R，R]上任取一个子区间[x，x+△x]，这一段圆弧绕x轴得到的球上部分的面积近似为2π×y×ds，ds是弧长。
所以球的表面积S＝∫<－R，R>2π×y×√(1+y'^2)dx，整理一下即得到S＝4πR^2。
扩展
我为什么求出S＝π^2 R^2
补充
这。。。表示，我也是参考的，这个计算有点麻烦。。。
参考资料：http://iask.sina.com.cn/b/8084885.html