高中立体几何公式梳理基本概念公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。公理3： 过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：（1）共面： 平行、 相交 （2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。两异面直线所成的角：范围为 ( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点—— 平行或异面直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角 由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°]最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面 互相垂直.直线a叫做平面 的垂线，平面 叫做直线a的垂面。直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 ③直线和平面平行——没有公共点直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。两个平面的位置关系：（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点（2）两个平面的位置关系： 两个平面平行-----没有公共点； 两个平面相交-----有一条公共直线。a、平行两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。b、相交二面角（1） 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。（2） 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为 [0°，180°]（3） 二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。（4） 二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。（5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。（6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。esp 两平面垂直两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。记为 两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。Attention：二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法（注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系）多面体棱柱棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。棱柱的性质（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形（3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形棱锥棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥棱锥的性质：（1） 侧棱交于一点。侧面都是三角形（2） 平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方正棱锥正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。正棱锥的性质：（1）各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。（3） 多个特殊的直角三角形esp： a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。 b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。Attention： 1、 注意建立空间直角坐标系2、 空间向量也可在无坐标系的情况下应用多面体欧拉公式：V（角）+F（面）-E（棱）=2正多面体只有五种：正四、六、八、十二、二十面体。球attention： 1、 球与球面积的区别2、 经度（面面角）与纬度（线面角）3、 球的表面积及体积公式4、 球内两平行平面间距离的多解性

（一）椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。（二）椭圆面积计算公式椭圆面积公式： S=πab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。

平面图形

名称 符号 周长C 和 面积S

正方形 a—边长 C＝4a S＝a2

长方形 a和b－边长 C＝2(a+b) S＝ab

三角形 a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角

其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA)

四边形 d,D－对角线长 α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα

平行四边形 a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角 S＝ah ＝absinα

菱形 a－边长 α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长 S＝Dd/2 ＝a2sinα

梯形 a和b－上、下底长 h－高 m－中位线长 S＝(a+b)h/2 ＝mh

圆 r－半径 d－直径 C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4

扇形 r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360)

弓形 l－弧长 b－弦长 h－矢高 r－半径 α－圆心角的度数

S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2

＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 ＝r(l-b)/2 + bh/2 ≈2bh/3

圆环 R－外圆半径 r－内圆半径 D－外圆直径

d－内圆直径 S＝π(R2-r2) ＝π(D2-d2)/4

椭圆 D－长轴 d－短轴 S＝πDd/4

立方图形

名称 符号 面积S和体积V

正方体a－边长 S＝6a2 V＝a3

长方体a－长 b－宽 c－高 S＝2(ab+ac+bc) V＝abc

棱柱S－底面积 h－高 V＝Sh

棱锥S－底面积 h－高 V＝Sh/3

棱台S1和S2－上、下底面积 h－高 V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3

拟柱体S1－上底面积 S2－下底面积 S0－中截面积 h－高

V＝h(S1+S2+4S0)/6

圆柱r－底半径 h－高 C—底面周长 S底—底面积 S侧—侧面积

S表—表面积 C＝2πr S底＝πr2 S侧＝Ch S表＝Ch+2S底

V＝S底h ＝πr2h

空心圆柱R－外圆半径 r－内圆半径 h－高 V＝πh(R2-r2)

直圆锥r－底半径 h－高 V＝πr2h/3

圆台r－上底半径 R－下底半径 h－高 V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3

球r－半径 d－直径 V＝4/3πr3＝πd2/6

球缺 h－球缺高 r－球半径 a－球缺底半径

V＝πh(3a2+h2)/6 ＝πh2(3r-h)/3 a2＝h(2r-h)

球台r1和r2－球台上、下底半径 h－高

V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6

圆环体R－环体半径 D－环体直径 r－环体截面半径 d－环体截面直径

V＝2π2Rr2 ＝π2Dd2/4

桶状体D－桶腹直径 d－桶底直径 h－桶高 V＝πh(2D2＋d2)/12

(母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15

(母线是抛物线形)

高考立体几何口诀

学好立几并不难，空间观念最关键

点线面体是一家，共筑立几百花圆

点在线面用属于，线在面内用包含

四个公理是基础，推证演算巧周旋

空间之中两直线，平行相交和异面

线线平行同方向，等角定理进空间

判断线和面平行，面中找条平行性

已知线和面平行，过线作面找交线

要证面和面平行，面中找出两交线

线面平行若成立，面面平行不用看

已知面与面平行， 线面平行是必然

若与三面都相交，则得两条平行线

判断线和面垂直，线垂面中两交线

两线垂直同一面，相互平行共伸展

两面垂直同一线，一面平行另一面

要让面和面垂直，面过另面一垂线

面面垂直成直角，线面垂直记心间

一面四线定射影，找出斜射一垂线

线线垂直得巧证，三垂定理风采显

空间距离和夹角，平行转化在平面

一找二证三构造，三角形中求答案

引进向量新工具，计算证明开新篇

空间建系求坐标，向量运算更简便

知识创新无止境，学问思辩勇登攀